Monte-Carlo-Simulation - Versionsgeschichte

Wiki-Redaktion am 27. Januar 2019 um 10:52 Uhr

2019-01-27T10:52:23Z

Wiki-Redaktion: /* Stochastische Planung und Risikoaggregation mittels Monte-Carlo-Simulation */

2018-09-28T15:47:25Z

Stochastische Planung und Risikoaggregation mittels Monte-Carlo-Simulation

Wiki-Redaktion: /* Binomialverteilung */

2018-07-17T15:05:26Z

Binomialverteilung

Wiki-Redaktion: /* Zusammenfassung */

2018-07-17T15:05:07Z

Zusammenfassung

Dienstl-Arnegger: /* Ersteinstellender Autor */

2016-04-01T12:00:32Z

Ersteinstellender Autor

Dienstl-Arnegger: /* Berücksichtigung von Risikoinformationen in Performancemaßen und wertorientierter Steuerung */

2015-07-07T10:03:15Z

Berücksichtigung von Risikoinformationen in Performancemaßen und wertorientierter Steuerung

Dienstl-Arnegger: /* Stochastische Planung und Risikoaggregation mittels Monte-Carlo-Simulation */

2015-07-07T10:02:03Z

Stochastische Planung und Risikoaggregation mittels Monte-Carlo-Simulation

Dienstl-Arnegger: /* Literatur */

2015-01-14T11:25:25Z

Literatur

Dienstl-Arnegger: /* Berücksichtigung von Risikoinformationen in Performancemaßen und wertorientierter Steuerung */

2015-01-14T11:24:50Z

Berücksichtigung von Risikoinformationen in Performancemaßen und wertorientierter Steuerung

Dienstl-Arnegger: /* Risikomaße */

2015-01-14T11:22:55Z

Risikomaße

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	== Zusammenfassung ==		== Zusammenfassung ==

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 Die bisher im Kontext der quantitativen Beschreibung eines Risikos betrachteten Wahrscheinlichkeitsverteilungen beschreiben die Risikowirkung zu einem Zeitpunkt oder in einer Periode. Die Wirkung vieler Risiken ist allerdings nicht auf einen Zeitpunkt oder eine Periode beschränkt. Um beispielsweise das Wechselkursrisiko adäquat zu erfassen, sollte die gesamte unsichere zukünftige Entwicklung des zugrundeliegenden (exogenen) Risikofaktors, z.B. des Dollarkurses, betrachtet werden. Dabei sind Abhängigkeiten der Risikoauswirkung von Periode zu Periode zu berücksichtigen. So wirkt sich beispielsweise eine (unerwartete) Veränderung des Dollarkurses im Jahr 2011 auch auf das Folgejahr 2012 aus: Der Dollarkurs am Ende von 2011 ist nämlich der Startkurs 2012. Um die zeitliche Entwicklung unsicherer Plangrößen oder exogener Risikofaktoren zu beschreiben, sind daher sogenannte „stochastische Prozesse“ notwendig, die man als „mehrperiodige Wahrscheinlichkeitsverteilungen“ umschreiben könnte.
-== Stochastische Planung und Risikoaggregation mittels Monte-Carlo-Simulation ==
+== Stochastische Planung und [[Risikoaggregation]] mittels Monte-Carlo-Simulation ==
-Zielsetzung der Risikoaggregation ist nun die Bestimmung der Gesamtrisikoposition eines Projekts oder Unternehmens. Dazu werden die Wahrscheinlichkeitsverteilungen einzelner Risiken zu einer Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zielgröße des Unternehmens (z. B. Gewinn oder Cashflow) zusammengeführt. Aus dieser können dann Risikomaße für das Gesamtunternehmen berechnet werden, die den Gesamtrisikoumfang charakterisieren.
+Zielsetzung der [[Risikoaggregation]] ist nun die Bestimmung der Gesamtrisikoposition eines Projekts oder Unternehmens. Dazu werden die Wahrscheinlichkeitsverteilungen einzelner Risiken zu einer Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zielgröße des Unternehmens (z. B. Gewinn oder Cashflow) zusammengeführt. Aus dieser können dann Risikomaße für das Gesamtunternehmen berechnet werden, die den Gesamtrisikoumfang charakterisieren.
 Die Beurteilung des Gesamtrisikoumfangs ermöglicht eine Aussage darüber, ob die Risikotragfähigkeit eines Unternehmens ausreichend ist, um den Risikoumfang des Unternehmens tatsächlich zu tragen und damit den Bestand des Unternehmens langfristig zu gewährleisten. Sollte der vorhandene Risikoumfang eines Unternehmens gemessen an der Risikotragfähigkeit zu hoch sein, werden zusätzliche Maßnahmen der Risikobewältigung erforderlich.

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 [[Datei:Monte Carlo Simulation 1.jpg]]
-Die Risikoquantifizierung zeigt in diesem Fall einen Schaden von maximal 125.000 €, falls eine Schlüsselperson ausfallen würde. Es kann jedoch auch sein, dass keine erhöhten Kosten entstehen. 50.000 € sind die wahrscheinlichsten Kosten. Der Erwartungswert einer Dreiecksverteilung berechnet sich durch [[Datei:Monte Carlo Simulation 2.jpg]], die Standardabweichung durch [[Datei:Monte Carlo Simulation 3.jpg]].
+Die [[Risikoquantifizierung]] zeigt in diesem Fall einen Schaden von maximal 125.000 €, falls eine Schlüsselperson ausfallen würde. Es kann jedoch auch sein, dass keine erhöhten Kosten entstehen. 50.000 € sind die wahrscheinlichsten Kosten. Der Erwartungswert einer Dreiecksverteilung berechnet sich durch [[Datei:Monte Carlo Simulation 2.jpg]], die Standardabweichung durch [[Datei:Monte Carlo Simulation 3.jpg]].
 Neben den oben genannten und in der Praxis des Risikomanagements besonders wichtigen Wahrscheinlichkeitsverteilung gibt es eine ganze Reihe weiterer. Für die quantitative Beschreibung von „Extremrisiken“ (wie „Crashs“ oder Naturkatastrophen) kommt beispielsweise die (verallgemeinerte) Pareto-Verteilung zum Einsatz (siehe hierfür weiterführend Zeder, 2007).

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 == Zusammenfassung ==
-Unter Risikoquantifizierung versteht man die quantitative Beschreibung eines Risikos und – als nächsten Schritt – die Ableitung eines Risikomaßes (einer Kennzahl), die Risiken vergleichbar macht.
+Unter [[Risikoquantifizierung]] versteht man die quantitative Beschreibung eines Risikos und – als nächsten Schritt – die Ableitung eines Risikomaßes (einer Kennzahl), die Risiken vergleichbar macht.
 Grundsätzlich sollte ein Risiko zunächst durch eine geeignete (mathematische) Verteilungsfunktion beschrieben werden. Häufig werden Risiken dabei durch Eintrittswahrscheinlichkeit und Schadenshöhe beschreibbar was einer sog. Binomialverteilung (digitale Verteilung) entspricht. Manche Risiken, wie Abweichung bei Instandhaltungskosten oder Zinsaufwendungen, die mit unterschiedlicher Wahrscheinlichkeit verschiedene Höhen erreichen können, werden dagegen durch andere Verteilungsfunktionen (z. B. eine Normalverteilung mit Erwartungswert und Standardabweichung) beschrieben. Die wichtigsten Verteilungsfunktionen im Rahmen des praktischen Risikomanagements sind die Binomialverteilung, Normalverteilung und Dreiecksverteilung (Albrecht / Maurer, 2005 und Gleißner, 2011).

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	Dr. Werner Gleißner, FutureValue Group, [mailto:w.gleissner@futurevalue.de]		Dr. Werner Gleißner, FutureValue Group, [mailto:w.gleissner@futurevalue.de]
		+
		+	[[Kategorie:Risikomanagement]]

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 == Berücksichtigung von Risikoinformationen in Performancemaßen und wertorientierter Steuerung ==
-Es ist das zentrale Anliegen einer wertorientierten Unternehmensführung, dass bei der Vorbereitung unternehmerischer Entscheidungen die zu erwartenden Erträge und Risiken gegenei-nander abgewogen werden. Die folgende Abbildung verdeutlicht diese Grundidee.
+Es ist das zentrale Anliegen einer wertorientierten Unternehmensführung, dass bei der Vorbereitung unternehmerischer Entscheidungen die zu erwartenden Erträge und Risiken gegeneinander abgewogen werden. Die folgende Abbildung verdeutlicht diese Grundidee.
 [[Datei:Monte Carlo Simulation 8.jpg]]
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 Zudem erfordert ein höherer Risikoumfang einen höheren zu erwartenden Gewinn (oder höhere Rendite), d. h. die Projekte sollten ein günstiges Ertrags-Risiko-Profil aufweisen, um die Durchführung bzw. Investition zu rechtfertigen.
-Will man die Positionierung eines Projektes oder Unternehmens aus dem Rendite-Risiko-Diagramm gemäß Abbildung 7 durch eine Kennzahl ausdrücken, gelangt man unmittelbar zu den Performancemaßen. Ein Performancemaß ergibt sich durch die Kombination des Erwar-tungswerts des Ergebnisses (z. B. des Gewinns) mit einem zugehörigen Risikomaß.
+Will man die Positionierung eines Projektes oder Unternehmens aus dem Rendite-Risiko-Diagramm gemäß Abbildung 7 durch eine Kennzahl ausdrücken, gelangt man unmittelbar zu den Performancemaßen. Ein Performancemaß ergibt sich durch die Kombination des Erwartungswerts des Ergebnisses (z. B. des Gewinns) mit einem zugehörigen Risikomaß.
 Eine Performancemessung kann ex ante oder ex post durchgeführt werden. Ein ex ante Performancemaß dient dabei als prognostizierter Erfolgsmaßstab der Entscheidungsvorbereitung für (oder gegen) eine unternehmerische Aktivität, z. B. eine Investition. Dabei wird der Unsicherheit jeder Zukunftsprognose (über eine Zielgröße X), die Grundlage der ökonomischen Entscheidung ist, explizit Rechnung getragen. Solche Performancemaße sind daher Kennzahlen, die sich aus der Kombination (operationalisiert durch eine Funktion f) des erwarteten Ergebnisses E(X) (z. B. erwarteter Gewinn) mit einem geeigneten Risikomaß R(X) wie Standardabweichung oder Value at Risk ergeben. Das Risikomaß zeigt dabei den Umfang möglicher Planabweichungen.

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 == Stochastische Planung und Risikoaggregation mittels Monte-Carlo-Simulation ==
-Zielsetzung der Risikoaggregation ist nun die Bestimmung der Gesamtrisikoposition eines Projekts oder Unternehmens. Dazu werden die Wahrscheinlichkeitsverteilungen einzelner Risiken zu einer Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zielgröße des Unternehmens (z. B. Gewinn oder Cashflow) zusammengeführt. Aus dieser können dann Risikomaße für das Ge-samtunternehmen berechnet werden, die den Gesamtrisikoumfang charakterisieren.
+Zielsetzung der Risikoaggregation ist nun die Bestimmung der Gesamtrisikoposition eines Projekts oder Unternehmens. Dazu werden die Wahrscheinlichkeitsverteilungen einzelner Risiken zu einer Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zielgröße des Unternehmens (z. B. Gewinn oder Cashflow) zusammengeführt. Aus dieser können dann Risikomaße für das Gesamtunternehmen berechnet werden, die den Gesamtrisikoumfang charakterisieren.
 Die Beurteilung des Gesamtrisikoumfangs ermöglicht eine Aussage darüber, ob die Risikotragfähigkeit eines Unternehmens ausreichend ist, um den Risikoumfang des Unternehmens tatsächlich zu tragen und damit den Bestand des Unternehmens langfristig zu gewährleisten. Sollte der vorhandene Risikoumfang eines Unternehmens gemessen an der Risikotragfähigkeit zu hoch sein, werden zusätzliche Maßnahmen der Risikobewältigung erforderlich.
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 [[Datei:Monte Carlo Simulation 4.jpg]]
-Die Monte-Carlo-Simulation liefert eine große „repräsentative Stichprobe“ der risikobedingt möglichen Zukunftsszenarien des Unternehmens, die dann analysiert wird. Aus den ermittelten Realisationen der Zielgröße (z. B. Gewinn) ergeben sich aggregierte Häufigkeitsverteilungen. Ausgehend von der Häufigkeitsverteilung der Gewinne kann man unmittelbar auf die Risikomaße, wie z. B. den Eigenkapitalbedarf (RAC) des Unternehmens, schließen (vgl. Ab-schnitt 6). Zur Vermeidung einer Überschuldung wird nämlich zumindest so viel Eigenkapital benötigt, wie auch Verluste auftreten können, die dieses aufzehren.
+Die Monte-Carlo-Simulation liefert eine große „repräsentative Stichprobe“ der risikobedingt möglichen Zukunftsszenarien des Unternehmens, die dann analysiert wird. Aus den ermittelten Realisationen der Zielgröße (z. B. Gewinn) ergeben sich aggregierte Häufigkeitsverteilungen. Ausgehend von der Häufigkeitsverteilung der Gewinne kann man unmittelbar auf die Risikomaße, wie z. B. den Eigenkapitalbedarf (RAC) des Unternehmens, schließen (vgl. Abschnitt 6). Zur Vermeidung einer Überschuldung wird nämlich zumindest so viel Eigenkapital benötigt, wie auch Verluste auftreten können, die dieses aufzehren.
-Bei bisher beschriebenen Risikoaggregationsmodellen wird immer zunächst von der Unter-nehmensplanung ausgegangen. Dabei existieren zwei (kombinierbare) Varianten der Risikoerfassung, nämlich
+Bei bisher beschriebenen Risikoaggregationsmodellen wird immer zunächst von der Unternehmensplanung ausgegangen. Dabei existieren zwei (kombinierbare) Varianten der Risikoerfassung, nämlich
-- die unmittelbare Berücksichtigung der Planungsunsicherheit bei den einzelnen Pla-nungspositionen (d. h. das Beschreiben einer Planungsposition durch eine Verteilung, z. B. eine Normalverteilung) oder
+- die unmittelbare Berücksichtigung der Planungsunsicherheit bei den einzelnen Planungspositionen (d. h. das Beschreiben einer Planungsposition durch eine Verteilung, z. B. eine Normalverteilung) oder
-- die separate quantitative Beschreibung eines Risikos durch eine geeignete Vertei-lungsfunktion (z. B. durch Schadenshöhe und Eintrittswahrscheinlichkeit bei ereignisorientierten Risiken) und die Zuordnung dieses Risikos in einem zweiten Schritt zu der Planungsposition, wo es Planabweichungen auslösen kann.
+- die separate quantitative Beschreibung eines Risikos durch eine geeignete Verteilungsfunktion (z. B. durch Schadenshöhe und Eintrittswahrscheinlichkeit bei ereignisorientierten Risiken) und die Zuordnung dieses Risikos in einem zweiten Schritt zu der Planungsposition, wo es Planabweichungen auslösen kann.
-Mit dem „Risikofaktorenansatz“ gibt es eine weitere, ebenfalls kombinierbare Variante zur Berücksichtigung von Risiken im Kontext der Planung. Neben der Unternehmensplanung wird dabei ein Modell der Unternehmensumwelt mit den für das Unternehmen interessanten Variablen aufgebaut (z. B. Bartram, 1999). Die Unternehmensumwelt wird dabei beispielsweise durch exogene Faktoren beschrieben wie Wechselkurse, Zinssätze, Rohstoffpreise und Konjunktur (z. B. zur Nachfrage-Wachstumsrate). Für alle diese exogenen Faktoren des Un-ternehmensumfeldes werden Prognosen erstellt, so dass ein „Plan-Umfeldszenario“ entsteht. Die Abhängigkeit der Planvariablen des Unternehmens von exogenen Faktoren wird z. B. durch Elastizitäten erfasst. Diese zeigen, welche Konsequenzen eine (unsichere) Änderung des Risikofaktors für die Plan-Variable (z. B. Umsatz) hat.
+Mit dem „Risikofaktorenansatz“ gibt es eine weitere, ebenfalls kombinierbare Variante zur Berücksichtigung von Risiken im Kontext der Planung. Neben der Unternehmensplanung wird dabei ein Modell der Unternehmensumwelt mit den für das Unternehmen interessanten Variablen aufgebaut (z. B. Bartram, 1999). Die Unternehmensumwelt wird dabei beispielsweise durch exogene Faktoren beschrieben wie Wechselkurse, Zinssätze, Rohstoffpreise und Konjunktur (z. B. zur Nachfrage-Wachstumsrate). Für alle diese exogenen Faktoren des Unternehmensumfeldes werden Prognosen erstellt, so dass ein „Plan-Umfeldszenario“ entsteht. Die Abhängigkeit der Planvariablen des Unternehmens von exogenen Faktoren wird z. B. durch Elastizitäten erfasst. Diese zeigen, welche Konsequenzen eine (unsichere) Änderung des Risikofaktors für die Plan-Variable (z. B. Umsatz) hat.
 == Risikomaße ==

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 Gleißner, W. / Lenz, A. / Tilch, T., Risikogerechte Beteiligungsbewertung - Die Bedeutung von Wertanalysen im gesetzlichen Kontext, in: ZfCM | Controlling & Management, S. 158 – 164.
-Pedersen, C. / Satchell, S., An Extended Family of Financial-Risk Measures, in: Geneva Pa-pers of Risk and Insurance 1998, S. 89 – 117.
+Pedersen, C. / Satchell, S., An Extended Family of Financial-Risk Measures, in: Geneva Papers of Risk and Insurance 1998, S. 89 – 117.
-Rockafellar, T. / Uryasev, S. / Zabarankin, M., Deviation Measures in Risk Analysis and Op-timization, in: Research Report 12 / 2002, S. 1 – 27.
+Rockafellar, T. / Uryasev, S. / Zabarankin, M., Deviation Measures in Risk Analysis and Optimization, in: Research Report 12 / 2002, S. 1 – 27.
 Zeder, M., Extreme Value Theory im Risikomanagement, 2007.

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 Will man die Positionierung eines Projektes oder Unternehmens aus dem Rendite-Risiko-Diagramm gemäß Abbildung 7 durch eine Kennzahl ausdrücken, gelangt man unmittelbar zu den Performancemaßen. Ein Performancemaß ergibt sich durch die Kombination des Erwar-tungswerts des Ergebnisses (z. B. des Gewinns) mit einem zugehörigen Risikomaß.
-Eine Performancemessung kann ex ante oder ex post durchgeführt werden. Ein ex ante Per-formancemaß dient dabei als prognostizierter Erfolgsmaßstab der Entscheidungsvorbereitung für (oder gegen) eine unternehmerische Aktivität, z. B. eine Investition. Dabei wird der Unsicherheit jeder Zukunftsprognose (über eine Zielgröße X), die Grundlage der ökonomischen Entscheidung ist, explizit Rechnung getragen. Solche Performancemaße sind daher Kennzahlen, die sich aus der Kombination (operationalisiert durch eine Funktion f) des erwarteten Ergebnisses E(X) (z. B. erwarteter Gewinn) mit einem geeigneten Risikomaß R(X) wie Standardabweichung oder Value at Risk ergeben. Das Risikomaß zeigt dabei den Umfang möglicher Planabweichungen.
+Eine Performancemessung kann ex ante oder ex post durchgeführt werden. Ein ex ante Performancemaß dient dabei als prognostizierter Erfolgsmaßstab der Entscheidungsvorbereitung für (oder gegen) eine unternehmerische Aktivität, z. B. eine Investition. Dabei wird der Unsicherheit jeder Zukunftsprognose (über eine Zielgröße X), die Grundlage der ökonomischen Entscheidung ist, explizit Rechnung getragen. Solche Performancemaße sind daher Kennzahlen, die sich aus der Kombination (operationalisiert durch eine Funktion f) des erwarteten Ergebnisses E(X) (z. B. erwarteter Gewinn) mit einem geeigneten Risikomaß R(X) wie Standardabweichung oder Value at Risk ergeben. Das Risikomaß zeigt dabei den Umfang möglicher Planabweichungen.
 [[Datei:Monte Carlo Simulation 9.jpg]]
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 [[Datei:Monte Carlo Simulation 13.jpg]]
-Die Anwendung des Performancemaßes RAVA ist einfach. In dem kleinen Fallbeispiel zur Risikoaggregation (Abschnitt 5) wurde ein erwarteter Gewinn des Unternehmens von 0,33 Mio. Euro und ein „Eigenkapitalbedarf“ von 1,4 Mio. Euro (Va-lue-at-Risk zum 5%-Niveau) bestimmt. Geht man (vereinfachend) von einem Risikozuschlag für das Eigenkapital von 10% aus, sind bei der „Performancebeurteilung“ des Unternehmens damit kalkulatorische Eigenkapitalkosten von 10% x 1,4 Mio. Euro, also 0,14 Mio. Euro zu berücksichtigen.
+Die Anwendung des Performancemaßes RAVA ist einfach. In dem kleinen Fallbeispiel zur Risikoaggregation (Abschnitt 5) wurde ein erwarteter Gewinn des Unternehmens von 0,33 Mio. Euro und ein „Eigenkapitalbedarf“ von 1,4 Mio. Euro (Value-at-Risk zum 5%-Niveau) bestimmt. Geht man (vereinfachend) von einem Risikozuschlag für das Eigenkapital von 10% aus, sind bei der „Performancebeurteilung“ des Unternehmens damit kalkulatorische Eigenkapitalkosten von 10% x 1,4 Mio. Euro, also 0,14 Mio. Euro zu berücksichtigen.
 Entsprechend berechnet sich für RAVA:

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 Varianz bzw. Standardabweichung sind relativ einfach zu berechnen und leicht verständlich. Allerdings berücksichtigen sie sowohl die negativen als auch die positiven Abweichungen vom erwarteten Wert. Investoren sind meistens aber eher an den negativen Abweichungen interessiert. So genannte Downside-Risikomaße beruhen dagegen auf der Idee, dass das (bewertungsrelevante) Risiko als mögliche negative Abweichung von einem erwarteten Wert angesehen wird und berücksichtigen somit lediglich diese. Hierzu gehören beispielsweise der Value-at-Risk, der Conditional Value-at-Risk oder die untere Semivarianz (ein LPM2-Risikomaß).
-Risikomaße lassen sich auf verschiedene Art und Weise klassifizieren. Zum einen nach der Lageabhängigkeit. Lageunabhängige Risikomaße (wie beispielsweise die Standardabwei-chung) quantifizieren das Risiko als Ausmaß der Abweichungen von einer Zielgröße. Lage-abhängige Risikomaße wie beispielsweise der Value-at-Risk hingegen sind von der Höhe des Erwartungswerts abhängig. Häufig kann ein solches Risikomaß als „notwendiges Eigenkapital“ bzw. „notwendige Prämie“ zur Risikodeckung angesehen werden (vgl. Abschnitt 6.2).
+Risikomaße lassen sich auf verschiedene Art und Weise klassifizieren. Zum einen nach der Lageabhängigkeit. Lageunabhängige Risikomaße (wie beispielsweise die Standardabweichung) quantifizieren das Risiko als Ausmaß der Abweichungen von einer Zielgröße. Lageabhängige Risikomaße wie beispielsweise der Value-at-Risk hingegen sind von der Höhe des Erwartungswerts abhängig. Häufig kann ein solches Risikomaß als „notwendiges Eigenkapital“ bzw. „notwendige Prämie“ zur Risikodeckung angesehen werden (vgl. Abschnitt 6.2).
 Dabei können die beiden Arten ineinander umgeformt werden. Wendet man beispielsweise ein lageabhängiges Risikomaß nicht auf eine Zufallsgröße X (z. B. Gewinn), sondern auf eine zentrierte Zufallsgröße X-E(X)an, so ergibt sich ein lageunabhängiges Risikomaß. Da in die Berechnung von lageabhängigen Risikomaßen auch die Höhe des Erwartungswerts einfließt, können diese auch als eine Art risikoadjustierter Performancemaße interpretiert werden.
-Der wesentliche Vorteil eines lageunabhängigen Risikomaßes besteht darin, dass hier die „Höheninformation“ (erwartetes Ergebnis) und die „Risikoinformation“ (Abweichung) klar getrennt werden, so dass die Achsen in einem Rendite-Risiko-Portfolio unabhängig voneinander sind. Lageabhängige Risikomaße entsprechen dagegen mehr dem intuitiven Risikover-ständnis, da hier bei ausreichend hohen „erwarteten Renditen“ die möglichen Abweichungen an Bedeutung verlieren, da sie nicht mehr so stark zu einem möglichen Unterschreiten der Zielgröße (z. B. erwartete Mindestrendite) führen.
+Der wesentliche Vorteil eines lageunabhängigen Risikomaßes besteht darin, dass hier die „Höheninformation“ (erwartetes Ergebnis) und die „Risikoinformation“ (Abweichung) klar getrennt werden, so dass die Achsen in einem Rendite-Risiko-Portfolio unabhängig voneinander sind. Lageabhängige Risikomaße entsprechen dagegen mehr dem intuitiven Risikoverständnis, da hier bei ausreichend hohen „erwarteten Renditen“ die möglichen Abweichungen an Bedeutung verlieren, da sie nicht mehr so stark zu einem möglichen Unterschreiten der Zielgröße (z. B. erwartete Mindestrendite) führen.
 Der Value-at-Risk (VaR), als lageabhängiges Risikomaß, berücksichtigt explizit die Konsequenzen einer besonders ungünstigen Entwicklung für das Unternehmen. Er ist definiert als Schadenshöhe, die in einem bestimmten Zeitraum („Halteperiode“, z. B. ein Jahr) mit einer festgelegten Wahrscheinlichkeit p (z. B. aus vorgegebenem Zielrating) nicht unterschritten wird. Formal gesehen ist ein Value-at-Risk somit das negative Quantil Q einer Verteilung.
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 Die erwähnte Ausfallwahrscheinlichkeit p (PD, Probability of Default), ein LPM-Maß der Ordnung 0, gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass eine Variable (wie beispielsweise das Eigenkapital) einen vorgegebenen Grenzwert (hier meist Null) unterschreitet, und charakterisiert damit ein Rating (vgl. Gleißner 2011).
 [[Datei:Monte Carlo Simulation 7.jpg]]
 == Berücksichtigung von Risikoinformationen in Performancemaßen und wertorientierter Steuerung ==